湖北省襄阳市47中2013年中考数学综合题汇编三季-四边形(含解析)

发布于:2021-07-29 05:53:57

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2013 中考综合题(三季-四边形)(共七季)
1.如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 y ?

1 x ? 2 交于 C、D 两点,其中点 C 在 y 轴上,点 D 2

的坐标为 (3, ) . 点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点, 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E, 交 CD 于点 F. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 的横坐标为 m,当 m 为何值时,以 O、C、P、F 为顶点的四边形是*行四边 形?请说明理由. (3)若存在点 P,使∠PCF=45° ,请直接写出 相应的点 P 的坐标. .... y P D C F C D y

7 2

A O

E

B

x

A O

B

x

解:(1)由题意知,点 C 是 y= ∵当 x=0 时,y=2

1 x+2 与 y 轴的交点 2

∴C(0,2)

备用图

将 C、D 坐标代入抛物线解析式得:

?c ? 2 ? ? 7 ?9 ? 3b ? c ? ? ? 2

解得 b=

7 ,c=2 2

∴抛物线的解析式为 y=-x2+ (2)∵PF∥OC

7 x+2 2

∴当四边形 OCPF 是*行四边形时,PF=OC=2 由题意得,P(m,-m2+

7 1 m+2),F(m, m+2) 2 2

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∵点 P 在 y 轴右侧 ∴PF=|-m2+ ∴m>0

7 1 m+2-( m+2)|=|-m2+3m |=2 2 2

当 P 在 CD 上方时,-m2+3m=2 则 m2-3m+2=0,解得 m=1 或 2 当 P 在 CD 下方时,-m2+3m=-2 则 m2-3m-2=0 解得 m=

3 ? 17 3 ? 17 或 (舍去) 2 2 3 ? 17 时,四边形 OCPF 是*行四边形 2

故,当 m=1 或 2 或

(3)点 P 坐标为(

1 7 23 13 , )或( , ) 2 2 18 6

① 当 P 在 CD 上方时,PF=-m2+3m,如下左图。 由△PKF∽△CHF∽△GOC 可求得: PK=

5 5 5 (6m-2m2),FK= (3m-m2),CF= m 5 5 2

∵∠PCF=45° ∴PK=CK=CF+FK 则

5 5 5 (6m-2m2)= (3m-m2)+ m 5 5 2

整理得 2m2-m=0 解得 m=0(舍去)或 ∴P(

1 2

1 7 , ) 2 2

② 当 P 在 CD 下方时,PF=m2-3m,如下右图。 与①同理,可求得: PK=

5 5 2 5 (2m2-6m),FK= (m -3m),CF= m 5 5 2

由 PK=CK=CF-FK 得

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5 5 5 2 (2m2-6m)= m(m -3m) 5 2 5
整理得 6m2-23m=0 解得 m=0(舍去)或 ∴P(

23 6

23 13 , ) 18 6
y y

P F H K

D C

K D

F H P
x

C

G

x

A

O

E

B

G

A

O

E

B

2.如图,已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 4 经过 A(-8,0),B(2,0)两点,直线 x ? ?4 交

x

轴于点 C,交抛物线于点 D.

(1)求该抛物线的解析式; (2)点 P 在抛物线上,点 E 在直线 x ? ?4 上,若以 A,O,E,P 为顶点的四边形是 *行四边形,求点 P 的坐标; (3)若 B,D,C 三点到同一条直线的距离分别是 d1 , d 2 , d 3 ,问是否存在直线 l, 使 d1 ? d 2 ?

d3 ?若存在,请直接写出 d 3 的值;若不存在,请说明理由. 2

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解:(1)∵抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 4 经过 A(-8,0),B(2,0)两点,

1 ? a? ? ?64a ? 8b ? 4 ? 0 ? 4 ∴? , 解得: ? ?4a ? 2b ? 4 ? 0 ?b ? 3 . ? 2 ?
∴y?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

1 2 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 x ? x?4; · 4 2

(2)∵点 P 在抛物线上,点 E 在直线 x ? ?4 上, 设点 P 的坐标为 ( m ,

1 2 3 m ? m ? 4) ,点 E 的坐标为 ( ?4 , n) . 4 2

如图 1,∵点 A(-8,0),∴ AO ? 8 . ①当 AO 为一边时,EP∥AO, 且 EP ? AO ? 8 , ∴ m ? 4 ? 8 ,解得: m1 ? ?12 , m2 ? 4 . ∴P1( ?12 ,14),P2(4,6) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ②当 AO 为对角线时,则点 P 和点 E 必关于点 C 成中心对称,故 CE ? CP .

? m ? ?4 ?m ? ?4 ? ∴ ?1 2 3 解得: ? m ? m ? 4 ? ? n, ? ?n ? 6, 2 ?4

∴P3 ( ? 4 , ? 6 ).

∴当 P1( ?12 ,14),P2(4,6),P3 ( ? 4 , ? 6 )时,A,O,E,P 为顶点 的四边形是*行四边形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (3)存在直线 l ,使 d1 ? d 2 ?

d3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 6 6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 10 , 10 . · 5 5

d 3 的值为: 2 2 , 6 2 ,

x ? ?4

y

P1

P2

A

C

O

B

x

D P 3
(图 1)

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x ? ?4

y

x ? ?4

y
l3

l1

E A C G H F D
(图 2)

I B
x l2

E G H O B
x

O

A

C

G?

l4

D

F
(图 3)

(3)参考答案: 解:存在直线 l1 使 d1 ? d 2 ?

d3 .连 BD.过点 C 作 CH⊥BD 于点 H.(如图 2) 2

由题意得 C(-4,0) ,B(2,0) ,D(-4,-6), ∴OC=4 ,OB=2,CD=6.∴△CDB 为等腰直角三角形. ∴CH=CD ? sin 45? ,即: CH ? 6 ? ∵BD=2CH,∴BD= 6 2 . ①∵CO:OB=2:1,∴过点 O 且*行于 BD 的直线满足条件 作 BE⊥直线 l1 于点 E ,DF⊥直线 l1 于点 F,设 CH 交直线 l1 于点 G. ∴ BE ? DF ,即: d1 ? d 2 . 则

2 ?3 2 . 2

d d 2 CH 2 CG CO 2 ? ? , ? ,即 3 ? ,∴ d 3 ? 2d1 ,∴ d1 ? d 2 ? 3 . d1 1 GH 1 BE BO 1 2 2 2 CH ,即 d 3 ? ? 3 2 ? 2 2 . 3 3

∴ CG ?

②如图 2,在△CDB 外作直线 l2 *行于 DB,延长 CH 交 l2 于点 G′, 使 CH ? HG ? , ∴ d 3 ? CG? ? 2CH ? 6 2 . ③如图 3,过 H,O 作直线 l 3 ,作 BE⊥ l 3 于点 E,DF⊥ l 3 于点 F,CG⊥ l 3 于 点 G,由①可知, DH ? BH 则 BE ? DF ,即: d1 ? d 2 . ∵CO:OB=2:1,∴ d1 ? d 2 ?

d3 . 2

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作 HI⊥ x 轴于点 I, ∴HI= CI= CB =3. ∴OI=4-3=1, ∴ OH ? HI 2 ? OI 2 ? 32 ? 12 ? 10 . ∵△OCH 的面积=

1 2

1 1 6 10 . ? 4?3? 10 ? d 3 ,∴ d 3 ? 5 2 2

④如图 3,根据等腰直角三角形的对称性,可作出直线 l 4 ,易证:

d1 ? d 2 ?

d3 6 10 , d3 ? . 5 2 d3 6 6 . d 3 的值为: 2 2 , 6 2 , 10 , 10 . 2 5 5

∴存在直线 l ,使 d1 ? d 2 ?

3、如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 BC 上,若 ?AEF ? 90° ,且 EF 交 正方形外角的*分线 CF 于点 F 。 (1)图 1 中若点 E 是边 BC 的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明 AE ? EF , 请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);(3 分) (2)如图 2,若点 E 在线段 BC 上滑动(不与点 B , C 重合)。 ① AE ? EF 是否总成立?请给出证明;(5 分) ②在如图所示的直角坐标系中,当点 E 滑动到某处时,点 F 恰好落在抛物线

y ? ? x2 ? x ? 1上,求此时点 F 的坐标.(4 分)
y
A D F

A

D F

B

E
图1

C

B(O)

E
图2

C

x

解:(1)如图 1,取 AB 的中点 G ,连接 EG . △ AGE 与△ ECF 全等. (2)①若点 E 在线段 BC 上滑动时 AE ? EF 总成立.

……………2 分 ……………3 分

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证明:如图 2,在 AB 上截取 AM ? EC .…… 4 分 ∵ AB ? BC ,∴ BM ? BE , ∴△ MBE 是等腰直角三角形, ∴ ?AME ? 180? ? 45? ? 135? , 又 CF *分正方形的外角,∴ ?ECF ? 135? , ∴ ?AME ? ?ECF . ………… 6 分

A

D F

G

而 ?BAE ? ?AEB ? ?CEF ? ?AEB ? 90? , ∴ ?BAE ? ?CEF , ∴△ AME ≌△ ECF . ∴ AE ? EF . ②过点 F 作 FH ? x 轴于 H , 由①知, FH ? BE ? CH , 设 BH ? a ,则 FH ? a ? 1, ∴点 F 的坐标为 F (a, a ? 1) . ……… 10 分 ∵点 F 恰好落在抛物线 y ? ? x2 ? x ? 1上,
2 ∴ a ? 1 ? ?a ? a ? 1 ,

B

………… 7 分

y
A

E 图1

C

D F

………… 8 分 ………… 9 分

M

B(O)

E
图2

C

H

x

(第 25 题)

2 ∴a ? 2,a ?

2 (负值不合题意,舍去),

= 2 ? 1. ∴ a ?1
∴点 F 的坐标为 F ( 2, 2 ?1) .…………… 12 分

4.如图,已知二次函数的图象过点 A(0,﹣3) ,B(



) ,对称轴为直线 x=﹣ ,点

P 是抛物线上的一动点, 过点 P 分别作 PM⊥x 轴于点 M, PN⊥y 轴于点 N, 在四边形 PMON 上分别截取 PC= MP,MD= OM,OE= ON,NF= NP. (1)求此二次函数的解析式; (2)求证:以 C、D、E、F 为顶点的四边形 CDEF 是*行四边形; (3)在抛物线上是否存在这样的点 P,使四边形 CDEF 为矩形?若存在,请求出所有符合 条件的 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

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考点: 二次函数综合题. 分析: (1)利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式; (2)证明△PCF≌△OED,得 CF=DE;证明△CDM≌△FEN,得 CD=EF.这样四 边形 CDEF 两组对边分别对应相等,所以四边形 CDEF 是*行四边形; (3)根据已知条件,利用相似三角形△PCF∽△MDC,可以证明矩形 PMON 是正方 形.这样点 P 就是抛物线 y=x2+x﹣3 与坐标象限角*分线 y=x 或 y=﹣x 的交点,联立 解析式解方程组,分别求出点 P 的坐标.符合题意的点 P 有四个,在四个坐标象限内 各一个. 解答: (1)解:设抛物线的解析式为:y=a(x+ )2+k, ∵点 A(0,﹣3) ,B( , )在抛物线上,





解得:a=1,k=

. =x2+x﹣3.

∴抛物线的解析式为:y=(x+ )2

(2)证明:如右图,连接 CD、DE、EF、FC. ∵PM⊥x 轴于点 M,PN⊥y 轴于点 N, ∴四边形 PMON 为矩形,

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∴PM=ON,PN=OM. ∵PC= MP,OE= ON, ∴PC=OE; ∵MD= OM,NF= NP, ∴MD=NF, ∴PF=OD. 在△PCF 与△OED 中,

∴ △ PCF≌ △ OED(SAS) , ∴ CF=DE. 同理可证:△ CDM≌ △ FEN, ∴ CD=EF. ∵ CF=DE,CD=EF, ∴ 四边形 CDEF 是*行四边形. (3)解:假设存在这样的点 P,使四边形 CDEF 为矩形. 设矩形 PMON 的边长 PM=ON=m, PN=OM=n, 则 PC= m, MC= m, MD= n, PF= n. 若四边形 CDEF 为矩形,则∠ DCF=90° ,易证△ PCF∽ △ MDC,



,即

,化简得:m2=n2,

∴ m=n,即矩形 PMON 为正方形. ∴ 点 P 为抛物线 y=x2+x﹣3 与坐标象限角*分线 y=x 或 y=﹣x 的交点. 联立 ,

解得 ∴ P1( ,

, ) ,P2(﹣

, ,﹣ ) ;

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联立 ,

解得





∴ P3(﹣3,3) ,P4(﹣1,1) . ∴ 抛物线上存在点 P,使四边形 CDEF 为矩形.这样的点有四个,在四个坐标象限内 各一个,其坐标分别为:P1( 1,1) . , ) ,P2(﹣ ,﹣ ) ,P3(﹣3,3) ,P4(﹣

5.如图,在直角梯形 AOCB 中,AB∥ OC,∠ AOC=90° ,AB=1,AO=2,OC=3,以 O 为原点, OC、OA 所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为 A,且经过点 C.点 P 在线段 AO 上由 A 向点 O 运动,点 O 在线段 OC 上由 C 向点 O 运动,QD⊥ OC 交 BC 于点 D,OD 所在直线与 抛物线在第一象限交于点 E. (1)求抛物线的解析式; (2)点 E′是 E 关于 y 轴的对称点,点 Q 运动到何处时,四边形 OEAE′是菱形? (3)点 P、Q 分别以每秒 2 个单位和 3 个单位的速度同时出发,运动的时间为 t 秒,当 t 为何值时,PB∥ OD?

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考点: 二次函数综合题. 分析: (1)根据顶点式将 A,C 代入解析式求出 a 的值,进而得出二次函数解析式; (2)利用菱形的性质得出 AO 与 EE′互相垂直*分,利用 E 点纵坐标得出 x 的值,进 而得出 BC,EO 直线解析式,再利用两直线交点坐标求法得出 Q 点坐标,即可得出 答案; (3)首先得出△ APB∽ △ QDO,进而得出 解答: 解: (1)∵ A(0,2)为抛物线的顶点, ∴ 设 y=ax2+2, ∵ 点 C(3,0) ,在抛物线上, ∴ 9a+2=0, 解得:a=﹣ , ∴ 抛物线为;y=﹣ x2+2; (2)如果四边形 OEAE′是菱形,则 AO 与 EE′互相垂直*分, ∴ EE′经过 AO 的中点, ∴ 点 E 纵坐标为 1,代入抛物线解析式得: 1=﹣ x2+2, 解得:x=± , = ,求出 m 的值,进而得出答案.

∵ 点 E 在第一象限, ∴ 点 E 为( ,1) ,

设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,把 B(1,2) ,C(3,0) ,代入得: ,

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解得: ,

∴ BC 的解析式为:y=﹣x+3, 将 E 点代入 y=ax,可得出 EO 的解析式为:y= x,





得:



∴ Q 点坐标为: ( ∴ 当 Q 点坐标为(

,0) , ,0)时,四边形 OEAE′是菱形;

(3)法一:设 t 为 m 秒时,PB∥ DO,又 QD∥ y 轴,则有∠ APB=∠ AOE=∠ ODQ, 又∵ ∠ BAP=∠ DQO,则有△ APB∽ △ QDO, ∴ = ,

由题意得:AB=1,AP=2m,QO=3﹣3m, 又∵ 点 D 在直线 y=﹣x+3 上,∴ DQ=3m, 因此: = ,解得:m= ,

经检验:m= 是原分式方程的解, ∴ 当 t= 秒时,PB∥ OD. 法二:作 BH⊥ OC 于 H,则 BH=AO=2,OH=AB=1,HC=OC﹣OH=2, ∴ BH=HC,∴ ∠ BCH=∠ CBH=45° , 易知 DQ=CQ, 设 t 为 m 秒时 PB∥ OE,则△ ABP∽ △ QOD, ∴ ∴ = = ,易知 AP=2m,DQ=CQ=3m,QO=3﹣3m, ,

解得 m= ,经检验 m= 是方程的解,

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∴ 当 t 为 秒时,PB∥ OD.

6.如图,在坐标系 xoy 中,△ ABC 是等腰直角三角形,∠ BAC=90° ,A(1,0),B(0,2),抛物 线 y=

1 2 x ? bx ? 2 的图象过 C 点。 2

(1)求抛物线的解析式;(3 分) (2)*移该抛物线的对称轴所在直线 l。当 l 移动到何处时,恰好将△ ABC 的面积分为相等 的两部分?(3 分) (3)点 P 是抛物线上一动点,是否存在点 P,使四边形 PACB 为*行四边形?若存在,求 出 P 点坐标,若不存在,说明理由。(4 分)

y B C O A x O B

y C A x

l

备用图

解: (1)如答图 1 所示,过点 C 作 CD⊥ x 轴于点 D,则∠ CAD+∠ ACD=90° . ∵ ∠ OBA+∠ OAB=90° ,∠ OAB+∠ CAD=90° , ∴ ∠ OAB=∠ ACD,∠ OBA=∠ CAD. ∵ 在△ AOB 与△ CDA 中,

∴ △ AOB≌ △ CDA(ASA) .

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∴ CD=OA=1,AD=OB=2, ∴ OD=OA+AD=3, ∴ C(3,1) . ∵ 点 C(3,1)在抛物线 y= x2+bx﹣2 上, ∴ 1= × 9+3b﹣2,解得:b=﹣ . ∴ 抛物线的解析式为:y= x2﹣ x﹣2.

(2)在 Rt△ AOB 中,OA=1,OB=2,由勾股定理得:AB= ∴ S△ ABC= AB2= . 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,∵ B(0,2) ,C(3,1) , ∴ ,



解得 k=﹣ ,b=2, ∴ y=﹣ x+2. 同理求得直线 AC 的解析式为:y= x﹣ . 如答图 1 所示, 设直线 l 与 BC、AC 分别交于点 E、F,则 EF=(﹣ x+2)﹣( x﹣ )= ﹣ x. △ CEF 中,CE 边上的高 h=OD﹣x=3﹣x. 由题意得:S△ CEF= S△ ABC, 即: EF?h= S△ ABC, ∴ ( ﹣ x)?(3﹣x)= × , 整理得: (3﹣x)2=3, 解得 x=3﹣ 或 x=3+ (不合题意,舍去) , 时,恰好将△ ABC 的面积分为相等的两部分.

∴ 当直线 l 解析式为 x=3﹣ (3)存在. 如答图 2 所示,

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过点 C 作 CG⊥ y 轴于点 G,则 CG=OD=3,OG=1,BG=OB﹣OG=1. 过点 A 作 AP∥ BC,且 AP=BC,连接 BP,则四边形 PACB 为*行四边形. 过点 P 作 PH⊥ x 轴于点 H,则易证△ PAH≌ △ BCG, ∴ PH=BG=1,AH=CG=3, ∴ OH=AH﹣OA=2, ∴ P(﹣2,1) . 抛物线解析式为:y= x2﹣ x﹣2,当 x=﹣2 时,y=1,即点 P 在抛物线上. ∴ 存在符合条件的点 P,点 P 的坐标为(﹣2,1). 7.如图,已知抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? 4 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,若已知 A 点坐标为 A(-2, 0). (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程; (2)求 C 点坐标,连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式; (3)试判断△ AOC 与△ COB 是否相似?并说明理由; (4)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ ACQ 为等腰三角形,若存在,求出符合条 件的 Q 点坐标;若不存在,请说明理由.

1 4

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解:(1)∵ 抛物线 y ? ? x2 ? bx ? 4 的图象经过点 A(-2, 0) ∴ 有 ? ? (?2)2 ? b ? (?2) ? 4 ? 0 ………………………1 分 ∴? ? 4 ? 2b ? 4 ? 0

1 4

1 4

1 4

3 ………………………………………………2 分 2 1 3 ∴ 抛物线解析式为 y ? ? x2 ? x ? 4 ……………3 分 4 2
∴ b?

3 b 2 ∴ 对称轴方程为: x ? ? ?? ?3 1 2a 2 ? (? ) 4
即 x ? 3 为所求………………………………………4 分 (或用配方法求出对称轴方程,酌情给分) (2)在 y ? ? x2 ?

1 4

3 x ? 4 中,令 x ? 0 则 2

y ?0?0?4? 4
∴ 点 C(0, 4) ……………………………………………1 分 令 y ? 0 ,则 ? x2 ?

1 4

3 x ? 4 ? 0 ………………………2 分 2

x 2 ? 6 x ? 16 ? 0
x1 ? 8 x2 ? ?2 …………………………………………3 分
…………………………………4 分

∴A(-2, 0) B(8, 0)

设直线 BC 的解析式为 y ? kx ? b , 把 B(8, 0), C(0, 4)的坐标分别代入解析式

?8k ? b ? 0 则有, ? ……………………………………5 分 ?b ? 4

1 ? ?k ? ? ∴ ? 2 ? b ? 4 ?
∴ 直线 BC 的解析式为 y ? ? x ? 4 …………………6 分 (3)可判定△ AOC∽ △ COB 成立.…………………………1 分 理由如下:在△ AOC 与△ COB 中

1 2

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∵ OA=2 ,OC=4 ,OB=8

OA 2 1 OC 4 1 ? ? , ? ? ………………………2 分 OC 4 2 OB 8 2 OA OC ∴ 有, ………………………………………3 分 ? OC OB
∴ 又∠ AOC=∠ BOC=90°…………………………………4 分 ∴ △ AOC∽ △ COB………………………………………5 分 (4)∵ 抛物线的对称轴方程为: x ? 3 可设点 Q(3, t)则可求得,

AC ? 22 ? 42 ? 20 ? 2 5

AQ ? 52 ? t 2 ? 25 ? t 2
CQ ? 32 ? (t ? 4)2 ? (t ? 4)2 ? 9 ………1 分
i)当 AQ ? CQ 时, 有 25 ? t 2 ? (t ? 4)2 ? 9

25 ? t 2 ? t 2 ? 8t ? 16 ? 9
8t ? 0

t ?0

∴Q1(3, 0) …………………2 分

ii)当 AC ? AQ 时, 有 25 ? t 2 ? 2 5

t 2 ? ?5 ,此时方程无实数根.
∴ 此时△ ACQ 不能构成等腰三角形……3 分 iii)当 AC ? CQ 时,

(t ? 4)2 ? 9 ? 2 5
t 2 ? 8t ? 5 ? 0
t ? 4 ? 11
∴ 点 Q 坐标为:Q2(3, 4 ? 11 ) Q3(3, 4 ? 11 )…………………5 分

故满足条件的 Q 点坐标为:Q1(3, 0), Q2(3, 4 ? 11 ) , Q3(3, 4 ? 11 )

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8.如图,在*面直角坐标系中,抛物线 y ?

3 8 2 2 x ? bx ? c 经过点 A( ,0)和点 B(1, 2 5

2 2 ),与 x 轴的另一个交点为 C,
(1)求抛物线的表达式; (2)点 D 在对称轴的右侧,x 轴上方的抛物线上,且 ?BDA ? ?DAC ,求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 BD,交抛物线对称轴于点 E,连接 AE ① 判断四边形 OAEB 的形状,并说明理由; ②点 F 是 OB 的中点,点 M 是直线 BD 上的一个动点,且点 M 与点 B 不重合,当

1 ?BMF ? ?MFO 3 ,请直接写出线段 BM 的长

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第25题(3)第二问: 1 2、当M点在B点右侧时(如图 2所示)BM ? . 2 同理可证: ? ?BNH ? ?MFG( AAS) ? GM ? NH 1 3 1 ? NH ? NF ? FH ? BF ? GB ? OB ? GB ? ? ? 1 2 2 2 1 1 ? BM ? GM ? GB ? 1 ? ? 2 2 5 1 综上线段BM的长为 或 . 2 2

9.如图,抛物线经过 A(?1, 0), B(5, 0), C (0, ? ) 三点. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使 PA+PC 的值最小,求点 P 的坐标; (3)点 M 为 x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点 N,使以 A,C,M,N 四点构成的四边 形为*行四边形?若存在,求点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. y

5 2

O A B C x

(第 26 题图)

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解:(1)设抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c ,

? ? a ? b ? c ? 0, ? 根据题意,得 ? 25a ? 5b ? c ? 0, , ? 5 ?c ? ? . ? 2

y

N'
A C O P M B N H x

1 ? ?a ? 2 , ? 解得 ?b ? ?2, ? 5 ?c ? ? . 2 ?
∴ 抛物线的解析式为: y ?

M'

(第 26 题图)

1 2 5 x ? 2x ? . 2 2

………(3 分)

(2) 由题意知, 点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P,则 P 点 即为所求. 设直线 BC 的解析式为 y ? kx ? b ,

?5k ? b ? 0, ? 由题意,得 ? 解得 5 b?? . ? ? 2
∴ 直线 BC 的解析式为 y ? ∵ 抛物线 y ?

1 ? k? , ? ? 2 ? ?b ? ? 5 . ? ? 2
…………(6 分)

1 5 x? . 2 2

1 2 5 x ? 2 x ? 的对称轴是 x ? 2 , 2 2 1 5 3 ∴ 当 x ? 2 时, y ? x ? ? ? . 2 2 2 3 ∴ 点 P 的坐标是 (2, ? ) . 2
(3)存在

…………(7 分)

…………………………(8 分)

(i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时,如图所示,∵ 四边形 ACNM 是*行四边形,∴ CN∥ x 轴, ∴ 点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称,∵ C 点的坐标为 (0, ? ) ,∴ 点 N 的坐标为

5 2

5 (4, ? ). 2

………………………(11 分)

' ' ' ' (II)当存在的点 N 在 x 轴上方时,如图所示,作 N H ? x 轴于点 H,∵ 四边形 ACM N

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是*行四边形,∴ AC ? M ' N ' , ?N 'M ' H ? ?CAO , ∴ Rt△ CAO ≌ Rt△ N ' M ' H ,∴N ' H ? OC .
' ∵ 点 C 的坐标为 (0, ? ),? N H ? 2 ∴ x ? 2x ?

5 2

5 5 ,即 N 点的纵坐标为 , 2 2

1 2

5 5 ? , 即 x 2 ? 4 x ? 10 ? 0 2 2

解得 x1 ? 2 ? 14, x2 ? 2 ? 14. ∴ 点 N ' 的坐标为 (2 ? 14, ) 和 (2 ? 14, ) . 综上所述,满足题目条件的点 N 共有三个, 分别为 (4, ? ). , (2 ? 14, ) , (2 ? 14, ) ………………………(13 分)

5 2

5 2

5 2

5 2

5 2

10.已知抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? c 经过点 A(0,1),B (4,3). (1)求抛物线的函数解析式; (2)求 tan∠ ABO 的值; (3)过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为 C,在对称轴的左侧且*行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N,交抛物线于点 M,若四边形 MNCB 为*行四边形,求点 M 的坐标. y

B A o x

(第 24 题图)

解:(1)∵ 抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? c 经过点 A(0,1),B(4,3). 所以 ?

?c ? 1 …………………………………………………………………1 分 ?? 16 ? 4b ? c ? 3

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9 ? ?b ? 解得 ? 2 ………………………………………………………………………1 分 ? ?c ? 1
2 ∴ 抛物线的解析式为 y ? ? x ?

9 x ? 1 ……………………………………………1 分 2

(2)过点 B 作 y 轴的垂线,垂足为 H,过点 A 作 AG⊥ BO,垂足为 G ∵ A(0,1),B(4,3),∴ OA=1,OB=5 ………………………………………………………1 分

4 1 1 1 1 ? BO ? AG ? ? AO ? BH ,∴ ? 5 ? AG ? ? 1 ? 4 ,∴ AG= ………1 分 5 2 2 2 2 22 3 ∴ OG= ,∴ BG= ……………………………………………………………………1 分 5 5 AG 2 ? ∴ tan∠ ABO= …………………………………………………………………1 分 BG 11
∵S ?ABO ? (3) ∵ 设直线 AB 的解析
/ ? ?1 ? b ? / ? ?3 ? 4k ? b

式为 y ? kx ? b?(k ? 0)

将 A(0,1),B(4,3)代

入得

1 ? ?k ? 2, 解得 ? / ?b ? 1 ?

1 x ? 1 ……………………………………………………………1 分 2 9 1 9 1 2 2 设 M (m,?m ? m ? 1) ,N ( m, m ? 1) ,MN= ? m ? m ? 1 ? ( m ? 1) ……………1 分 2 2 2 2 9 1 2 ∵ MN=BC=3,∴? m ? m ? 1 ? ( m ? 1) =3 四边形 MNCB 为*行四边形,∴ 2 2
∴ 直线 AB 的解析式为 y ? 解得 m1 ? 1, m2 ? 3 ……………………………………………………………………………1 分 ∵ 抛物线的对称轴为直线 x ?

9 ,直线 MN 在抛物线对称轴的左侧 ……………………1 分 4

9 ∴ m ? 1 ,∴M (1, ) ………………………………………………1 2

11.如图,在*面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线 y= x +2x 与 x 轴相交于 O、B,顶点 为 A,连接 OA. (1)求点 A 的坐标和∠ AOB 的度数; (2)若将抛物线 y= x2+2x 向右*移 4 个单位,再向下*移 2 个单位,得到抛物线 m,其顶 点为点 C.连接 OC 和 AC,把△ AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC′.试判断其形状,并说 明理由;

2

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(3)在(2)的情况下,判断点 C′是否在抛物线 y= x2+2x 上,请说明理由; (4)若点 P 为 x 轴上的一个动点,试探究在抛物线 m 上是否存在点 Q,使以点 O、P、C、 Q 为顶点的四边形是*行四边形,且 OC 为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 专题: 探究型.
2 分析: (1) 由 y= x2+2x 得, y= (x﹣2) ﹣2, 故可得出抛物线的顶点 A 的坐标, 令 x2+2x=0

得出点 B 的坐标过点 A 作 AD⊥ x 轴,垂足为 D,由∠ ADO=90° 可知点 D 的坐标,故可 得出 OD=AD,由此即可得出结论; (2)由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 ,由此可得抛物线 m 的解析式过点 C 作 CE⊥ x 轴,垂足为 E;过点 A 作 AF⊥ CE,垂足为 F,与 y 轴交与点 H,根据勾股定理 可求出 OC 的长,同理可得 AC 的长,OC=AC,由翻折不变性的性质可知, OC=AC=OC′=AC′,由此即可得出结论; (3) 过点 C′作 C′G⊥ x 轴, 垂足为 G, 由于 OC 和 OC′关于 OA 对称, ∠ AOB=∠ AOH=45° , 故可得出∠ COH=∠ C′OG,再根据 CE∥ OH 可知∠ OCE=∠ C′OG,根据全等三角形的判 定定理可知△ CEO≌ △ C′GO,故可得出点 C′的坐标把 x=﹣4 代入抛物线 y= x2+2x 进 行检验即可得出结论; (4)由于点 P 为 x 轴上的一个动点,点 Q 在抛物线 m 上,故设 Q(a, (a﹣2)2 ﹣4) ,由于 OC 为该四边形的一条边,故 OP 为对角线,由于点 P 在 x 轴上,根据中 点坐标的定义即可得出 a 的值,故可得出结论.

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解答: 解: (1)∵ 由 y= x2+2x 得,y= (x﹣2)2﹣2, ∴ 抛物线的顶点 A 的坐标为(﹣2,﹣2) , 令 x2+2x=0,解得 x1=0,x2=﹣4, ∴ 点 B 的坐标为(﹣4,0) , 过点 A 作 AD⊥ x 轴,垂足为 D, ∴ ∠ ADO=90° , ∴ 点 A 的坐标为(﹣2,﹣2) ,点 D 的坐标为(﹣2,0) , ∴ OD=AD=2, ∴ ∠ AOB=45° ;

(2)四边形 ACOC′为菱形. 由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 ,且过顶点 C 的坐标是(2,﹣4) , ∴ 抛物线的解析式为:y= (x﹣2)2﹣4,即 y= x2﹣2x﹣2, 过点 C 作 CE⊥ x 轴,垂足为 E;过点 A 作 AF⊥ CE,垂足为 F,与 y 轴交与点 H, ∴ OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE﹣EF=2, ∴ OC= 同理,AC=2 = ,OC=AC, =2 ,

由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′, 故四边形 ACOC′为菱形.

(3)如图 1,点 C′不在抛物线 y= x2+2x 上. 理由如下: 过点 C′作 C′G⊥ x 轴,垂足为 G, ∵ OC 和 OC′关于 OA 对称,∠ AOB=∠ AOH=45° , ∴ ∠ COH=∠ C′OG, ∵ CE∥ OH, ∴ ∠ OCE=∠ C′OG,

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又∵ ∠ CEO=∠ C′GO=90° ,OC=OC′, ∴ △ CEO≌ △ C′GO, ∴ OG=4,C′G=2, ∴ 点 C′的坐标为(﹣4,2) , 把 x=﹣4 代入抛物线 y= x2+2x 得 y=0, ∴ 点 C′不在抛物线 y= x2+2x 上;

(4)存在符合条件的点 Q. ∵ 点 P 为 x 轴上的一个动点,点 Q 在抛物线 m 上, ∴ 设 Q(a, (a﹣2)2﹣4) , ∵ OC 为该四边形的一条边, ∴ OP 为对角线,



=0,解得 x1=6,x2=4,

∴ P(6,4)或(﹣2,4) (舍去) , ∴ 点 Q 的坐标为(6,4) .

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12.如图,在*面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=

1 1 (x―m)2― m2+m 的顶点为 A,与 y 4 4

轴的交点为 B,连结 AB,AC⊥ AB,交 y 轴于点 C,延长 CA 到点 D,使 AD=AC,连 结 BD.作 AE∥ x 轴,DE∥ y 轴. (1)当 m=2 时,求点 B 的坐标; (2)求 DE 的长? (3)① 设点 D 的坐标为(x,y),求 y 关于 x 的函数关系式? ② 过点 D 作 AB 的*行线,与第(3)① 题确定的函数图象的另一个交点为 P,当 m 为何值时,以,A,B,D,P 为顶点的四边形是*行四边形?

解(1)当 m=2 时,y= 把 x=0 代入 y=

1 (x―2)2+1 4

y B x O D A C E

1 (x―2)2+1,得:y=2 4

∴ 点 B 的坐标为(0,2) (2)延长 EA,交 y 轴于点 F ∵ AD=AC,∠ AFC=∠ AED=90? ,∠ CAF=∠ DAE ∴ △ AFC≌ △ AED ∴ AF=AE, ∵ 点 A(m,―
1 2 m +m),点 B(0,m) 4 1 2 1 m +m)= m2 4 4

∴ AF=AE=|m|,BF=m―(―

∵ ∠ ABF=90? ―∠ BAF=∠ DAE,∠ AFB=∠ DEA=90? , ∴ △ ABF∽ △ DAE
1 2 m BF AE |m| ∴ = ,即: 4 = |m| AF DE DE

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∴ DE=4
1 (3)① ∵ 点 A 的坐标为(m,― m2+m), 4 1 ∴ 点 D 的坐标为(2m,― m2+m+4), 4
y B

∴ x=2m,y=―
2

1 2 m +m+4 4

x O D

∴ y=―

1 ? x? x ? ? ? + +4 4 ?2? 2
1 2 1 x + x+4 16 2

F

A

E

∴ 所求函数的解析式为:y=―

C

② 作 PQ⊥ DE 于点 Q,则△ DPQ≌ △ BAF (Ⅰ )当四边形 ABDP 为*行四边形时(如图 1), 点 P 的横坐标为 3m 点 P 的纵坐标为:(― 把 P(3m,―
1 2 1 1 m +m+4)―( m2)=― m2+m+4 4 4 2
(图 1)
Q P

1 2 1 1 m +m+4)的坐标代入 y=― x2+ x+4 得: 2 16 2

y x

1 1 1 ― m2+m+4=― × (3m)2+ × (3m)+4 2 16 2

解得:m=0(此时 A,B,D,P 在同一直线上,舍去) 或 m=8 (Ⅱ )当四边形 ABDP 为*行四边形时(如图 2), 点 P 的横坐标为 m 点 P 的纵坐标为:(―
1 2 1 m +m+4)+( m2)=m+4 4 4

Q

O P B

D E A F C

1 1 把 P(m,m+4)的坐标代入 y=― x2+ x+4 得: 16 2

(图 2)

m+4=―

1 2 1 m + m+4 16 2

解得:m=0(此时 A,B,D,P 在同一直线上,舍去)或 m=―8 综上所述:m 的值 8 或―8.

13.如图,已知抛物线 y ?

1 2 x ? bx 与直线 y ? 2 x 交于点 O(0,0),A( a ,12), 2

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点 B 是抛物线上 O,A 之间的一个动点,过点 B 分别作 x 轴、 y 轴的*行线与直线 OA 交于点 C,E。 (1)求抛物线的函数解析式; (2)若点 C 为 OA 的中点,求 BC 的长; (3) 以 BC, BE 为边构造矩形 BCDE, 设点 D 的坐标为 ( m ,n ) , 求出 m , n 之间的关系式。 解:∵ 点 A(a,12)在直线 y=2x 上,∴ 12=2a,a=6,∴ A(6,12),又点 A 在抛物线上,∴ 把 A 点坐标代入抛物线上,得 b=-1, ∴ 抛物线的解析式为 y=

1 2 x -x 2

C ( 3,6 ) 把 y=6 代 入 抛 物 线 上 得 ( 2 ) ∵ 点 C 为 OA 的 中 点 , ∴ ∴ BC= x1 =1+ 13,x2 =1- 13 (舍去)

13-2
1 2

( n, 2m) (3)∵ 点 D(m,n),? E ( n,n) ,点 C(2m,m),点 B ,∴ 把 B 点坐标代入
抛物线的解析式中,的 m=

1 2

1 2 1 n - n, 16 4

? m与n的关系为m=

1 2 1 n - n。 16 4

14.如图,在*面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴, y 轴分别交于点 A(6,0),B(0,8), 点 C 的坐标为(0, m ),过点 C 作 CE⊥ AB 于点 E,点 D 为 x 轴上一动点,连结 CD,DE, 以 CD,DE 为边作□CDEF。 (1)当 0< m <8 时,求 CE 的长(用含 m 的代数式表示); (2)当 m =3 时,是否存在点 D,使□CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上?若存在,求出 点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点 D 在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得□CDEF 为矩形,请求出所有满 足条件的 m 的值。

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